Божик был незабываемым правым полузащитником замечательной венгерской сборной начала 1950-х гг. Одноклубник Ференца Пушкаша по «Кишпешту» и «Гонведу», Божик был «мозгом» центра поля сборной, но при этом еще и забивал потрясающие мячи. Один из них — великолепный удар с 30 ярдов в ворота Англии в легендарной победе венгров (6:3) на стадионе «Уэмбли» в 1953 г. Его дебют в сборной состоялся в 1947 г. в матче со сборной Болгарии.

После восстания 1956 г. он вернулся в страну и совмещал футбольную карьеру со службой в военной полиции В 1962 г. в дружеской встрече с Уругваем он отметил голом свое сотое и последнее выступление за сборную, В 1952 г. Божик в составе венгерской команды завоевал золотую медаль Олимпийских игр в Хельсинки.

Он рос по соседству с Ференцем Пушкашом и всю жизнь оставался его лучшим другом Йозеф Божик стал рекордсменом Венгрии по числу матчей, сыгранных за национальную сборную В период с 1947 по 1962 год он провел в ее составе 100 игр.

Вместе с Пушкашом в 1954 году в Берне он пробился в финал мирового первенства, а в 1953 году участвовал в так называемом матче столетия, в котором сборная Венгрии на «Уэмбли» одержала победу над англичанами со счетом 6:3. В 1950, 1952, 1953 и 1955 годах Божик, защищавший цвета «Гонведа» (Будапешт), становился чемпионом Венгрии, а в 1952 году выиграл золотые олимпийские медали.

• Даты жизни: 28 ноября 1925 — 31 мая 1978
• Страна: Венгрия
• Клубы: «Кишпешт», «Гонвед»(Будапешт)
• Игры в финальном турнире ЧМ: 8
• Голы в финальном турнире ЧМ: 1
• Количество матчей за сборную: 100
• Голы: 1
• Участник ЧМ: 1954,1958